а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7? б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным? в) Почему десятичное разложение дроби периодическое?
Решение: При делении натурального числа p на натуральное число q (q > 1) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из (q − 1) цифры. 7 − 1 = не более 6 цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7. Ответ: не более 6.
Ответ: Если знаменатель q несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь. Если знаменатель q несократимой дроби имеет другие простые делители, кроме 2 и 5, то эта дробь разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Решение: , так как знаменатель дроби имеет отличные от 2 и 5 простые делители, разложение дроби является бесконечным периодическим.