ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Дана правильная дробь

\frac{2}{3}

. Запишите обратную ей дробь и определите, какая из этих двух дробей ближе к 1.
2) Запишите какую−нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз.
3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 − правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод.

ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ 1) Дана правильная дробь 2 3 . Запишите обратную ей дробь и определите, какая из этих двух дробей ближе к 1. 2) Запишите какую−нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Кака...

Решение 1

Посмотреть калькулятор Дроби

Дробь, обратная

\frac{2}{3}

есть дробь

\frac{3}{2}

.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.

\frac{1}{3}

до единицы у дроби

\frac{2}{3}

;

\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

, значит

\frac{1}{2}

до единицы у дроби

\frac{3}{2}

\frac{1}{3} < \frac{1}{2}

, значит дробь

\frac{2}{3}

ближе к единице.

Решение 2

Дробь, обратная

\frac{2}{5}

есть дробь

\frac{5}{2}

.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.

\frac{3}{5}

до единицы у дроби

\frac{2}{5}

;

\frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}

, значит

1 \frac{1}{2}

до единицы у дроби

\frac{5}{2}

\frac{3}{5} < 1 \frac{1}{2}

, значит дробь

\frac{2}{5}

ближе к единице.

Дробь, обратная

\frac{3}{7}

есть дробь

\frac{7}{3}

.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.

\frac{4}{7}

до единицы у дроби

\frac{3}{7}

;

\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}

, значит

1 \frac{1}{3}

до единицы у дроби

\frac{7}{3}

\frac{4}{7} < 1 \frac{1}{3}

, значит дробь

\frac{3}{7}

ближе к единице.

Решение 3

К единице ближе правильная дробь, чем обратная ей неправильная. Пусть дана дробь

\frac{a}{b}

, где a < b (то есть данная дробь правильная).
Дробь обратная данной есть

\frac{b}{a}

. К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше. Найдем разницу с единицей данных дробей:

1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{(b - a)}{b}

;

\frac{b}{a} - 1 = \frac{b}{a} - \frac{a}{a} = \frac{(b - a)}{a}

.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше, a < b, значит:

\frac{(b - a)}{b} < \frac{(b - a)}{a}

, поэтому дробь

\frac{a}{b}

ближе к единице.