Известно, что уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$.
По теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$:
$\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -p &\\
x_1x_2 = q &
\end{cases}
\end{equation*}$
Для корней $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$:
$\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x^2_{1} + \frac{x_2}{x_2}}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2} - 2 = \frac{p^2}{q} - 2 &\\
\frac{x_1}{x_2} * \frac{x_2}{x_1} = 1 &
\end{cases}
\end{equation*}$
Уравнение:
$x^2 - (\frac{p^2}{q} - 2)x + 1 = 0$