Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.
Указание. Используйте для доказательства рисунок 144. Когда малый поршень под действием силы $F_{1}$ опускается вниз на расстояние $h_{1}$, он вытесняет некоторый объём жидкости. На столько же увеличивается объём жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту $h_{2}$.
рис. 144. Принцип действия гидравлической машины
Устройство гидравлического пресса основано на законе Паскаля.
Два сообщающихся сосуда наполнены однородной жидкостью и закрыты двумя поршнями, площади которых $S_{1}$ и $S_{2}$ ($S_{2}>S_{1}$).
По закону Паскаля имеем равенство давлений в обоих цилиндрах: $p_{1}=p_{2}$.
Если на малый поршень действует сила $F_{1}$, то давление жидкости под
малым поршнем:
$p_{1} = \frac{F_{1}}{S_{1}}$
под большим:
$p_{2} = \frac{F_{2}}{S_{2}}$.
Отсюда
$\frac{F_{1}}{S_{1}} = \frac{F_{2}}{S_{2}}$;
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$,
то есть при работе гидравлического пресса создается выигрыш в силе, равный отношению площади большего поршня к площади меньшего.
Малая сжимаемость жидкости обеспечивает практическое равенство объемов жидкости, переходящей из малого цилиндра в большой:
$V_{1} = V_{2}$, т.е.
$S_{1}h_{1} = S_{2}h_{2}$;
$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$.
Перемещение поршней в малом и большом цилиндрах обратно пропорционально площадям поршней.
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$.
$F_{1}h_{1}=F_{2}h_{2}$, т.е.
$А_{1} = А_{2}$.
Равенство выражает "золотое правило" механики, применительно к гидравлическому прессу: "во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии".