Дано:
$l_{1}$;
$l_{2}$;
$h_{1} = h_{2}$.
Доказать:
$T_{1} = T_{2}$.
Решение:

Пусть l − длина нити, α — угол нити с вертикалью, R — расстояние от тела до оси, h − высота конуса.
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила натяжения нити $\overset{→}{F_{н}}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{F_{н}}$;
Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = Tsinα = \frac{mv^{2}}{R}$;
ось Y: mg = Tcosα;
$tgα = \frac{\frac{mv^{2}}{R}}{mg} = \frac{v^{2}}{Rg}$
$v^{2} = gRtgα$;
$v = \sqrt{gRtgα}$;
Радиус окружности, описываемой телом, равен:
R = lsinα;
Найдем период обращения:
$T = \frac{2πR}{v} = \frac{2πR}{\sqrt{gRtgα}} = 2π\sqrt{\frac{R}{g}ctgα} = 2π\sqrt{\frac{lsinα}{g}ctgα} = 2π\sqrt{\frac{lcosα}{g}} = 2π\sqrt{\frac{h}{g}}$.
$T_{1} = 2π\sqrt{\frac{h_{1}}{g}}$;
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{h_{2}}{g}}$;
Если $h_{1} = h_{2}$, то $T_{1} = T_{2} = 2π\sqrt{\frac{h}{g}}$.
Таким образом, время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту