Пусть n − 2 − первое число, тогда:
n − 1 − второе число;
n − третье число;
n + 1 − четвертое число;
n + 2 − пятое число, тогда:
$(n - 2)^2 + (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = n^2 - 4n + 4 + n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = (n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (-4n - 2n + 2n + 4n) + (4 + 1 + 1 + 4) = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)$
Выражение $5n^2 + 10$ нельзя представить в виде $(an + b)^2$, следовательно не существует пяти последовательных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.