При движении вверх тело двигается с замедлением g, пока его скорость не достигает нуля.
$v_{1} = v_{01} - gt_{1} = 0$;
$v_{01} = gt_{1}$;
При движении вниз тело двигается с ускорением g без начальной скорости.
$v_{2} = v_{02} + gt_{2}$;
Т.к. $v_{02} = 0$, то $v_{2} = gt_{2}$;
При отсутствии сопротивления воздуха время $t_{1}$ поднятия тела на высоту h равно времени $t_{2}$ падения его с этой высоты.
Т.к. $t_{1} = t_{2} = t$, то
$v_{01} = gt$;
$v_{2} = gt$.
$v_{01} = v$.
При отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $v_{0}$, тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости v в момент касания земли.