Дано:
$v_{1} = v_{2} = v$;
$S_{1} = S_{2} = S$;
$M_{1} = M_{2} = M$.
Найти:
$t_{1} > t_{2}$ − ?
Решение:
1. Рассмотрим тележку, с которой дворник сбрасывает снег. Так как вдоль горизонтальной оси на систему «тележка−дворник» никакие внешние силы не действуют, то можно записать закон сохранения импульса системы «тележка−дворник» в проекциях на направление движения тележки. Пусть за определённый промежуток времени на тележку массой M выпала первая порция снега массой m:
$Mv_{0} = (M + m) v_{1}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{1}' = \frac{Mv_{0}}{M + m}$;
Затем дворник сбросил этот снег перпендикулярно направлению движения, импульс тележки стал $Mv_{1}'$ (сбрасывание снега в стороны не меняет скорости тедежки). Следом упала вторая порция снега:
$Mv_{1}' = (M + m) * v_{2}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{2}' = \frac{Mv_{1}'}{M + m} = \frac{M * \frac{Mv_{0}}{M + m}}{M + m} = \frac{M^{2}v_{0}}{(M + m)^{2}} = (\frac{M}{(M + m)})^{2} * v_{0}$;
Дворник вновь сбросил эту порцию снега. Затем упала третья порция и т. д. Скорость тележки после n−ой порции снега:
$ v_{n1-я}' = (\frac{M}{(M + m)})^{n} * v_{0}$;
2. Теперь рассмотрим тележку 2, на которой дворник спит. Найдём скорость тележки после падения первой порции снега:
$Mv_{0} = (M + m) v_{1}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{1}' = \frac{Mv_{0}}{M + m}$;
Скорость тележки 2 после падения второй порции снега:
$(M+m) *v_{1}' = (M + 2m) * v_{2}'$;
$v_{2}' = \frac{(M+m) *v_{1}' }{M + 2m} = \frac{M+m}{M + 2m} * \frac{Mv_{0}}{M + m} = \frac{Mv_{0}}{M + 2m}$;
Скорость тележки 2 после n−й порции снега:
$v_{n2-я}' = \frac{Mv_{0}}{M + nm}$;
3. Сравним выражения. Обозначим $x = \frac{m}{M}$. Тогда
$ v_{n1-я}' = \frac{v_{0}}{(1 + x)^{n}}$;
$v_{n2-я}' = \frac{v_{0}}{1 + nx}$;
Т.к. $(1 + x)^{n} > 1 + nx$, то $v_{n1-я}' < v_{n2-я}'$
Таким образом, быстрее будет двигаться тележка со спящим дворником, поэтому тележка 2 быстрее пройдёт заданное расстояние.
Приведенные вычисления показывают, что падающий на тележку снег замедляет ее импульс тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбрасывают, движется быстрее.
Ответ: Быстрее пройдет тележка со спящим дворником.