Дано:
M;
m;
l.
Найти:
v − ?
Решение:

В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{лy} + g_{y}t$;
Т.к. $v_{лy} = v_{л}sinα$; $g_{y} = -g$; $v_{y} = 0$, то
$0 = v_{л}sinα - gt$;
$v_{л}sinα = gt$;
$t = \frac{v_{л}sinα}{g}$;
Полное время полета лягушки равно:
$t = \frac{2v_{л}sinα}{g}$;
По закону сохранения импульса для системы «лягушка – доска»
$(m + M)v = mv_{л} + Mv_{д}$;
Так как v = 0, то в проекции на ось X уравнение примет вид:
$mv_{л}cosα - Mv_{д} = 0$;
$mv_{л}cosα = Mv_{д}$;
$v_{д} = \frac{mv_{л}cosα}{M}$;
За время полета лягушка должна преодолеть относительно доски расстояние l, равное:
$(v_{л}cosα + v_{д})t = l$;
$(v_{л}cosα + \frac{mv_{л}cosα}{M}) * \frac{2v_{л}sinα}{g} = l$;
$\frac{2v_{л}^{2}sinαcosα}{g} * ( 1+ \frac{m}{M}) = l$;
$v_{л}^{2}= \frac{l}{\frac{2sinαcosα}{g}* ( 1+ \frac{m}{M})} = \frac{l}{\frac{sin2α}{g}* ( 1+ \frac{m}{M})} = \frac{l}{\frac{sin2α}{g} + \frac{msin2α}{Mg}} = \frac{l}{\frac{sin2α *(M + m)}{gM}} = \frac{lgM}{sin2α * (M + m)}$;
$v_{л}= \sqrt{ \frac{lgM}{sin2α * (M + m)}}$;
Из формулы видно, что $v_{л}$ имеет минимальное значение при α = 45°.
Таким образом,
$v_{min}= \sqrt{ \frac{lgM}{M + m}}$.
Ответ: $\sqrt{ \frac{lgM}{M + m}}$.