Изобразим все силы, действующие на шар: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила натяжения нити $\overset{→}{T}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{ma} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{T}$;
Выберем ось Y перпендикулярно горизонтальной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
T − mg = ma;
$a_{ц} = \frac{v_{0}^{2}}{l}$;
$T = ma + mg = \frac{mv_{0}^{2}}{l} + mg$;
По закону сохранения механической энергии:
$E_{к0} = E_{п} + E_{к}$;
$E_{к0} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$;
$E_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$;
$E_{п} = mg * 2l$;
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mg * 2l + \frac{mv^{2}}{2}$;
Шар движется по дуге окружности. В вехней точке:
$a = \frac{v^{2} }{l} = g$;
В этой точке на шар действует только сила тяжести. Поэтому:
$v^{2} = gl$;
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = 2mgl + \frac{mgl}{2} = \frac{5mgl}{2}$;
$v_{0}^{2} = \frac{ \frac{5mgl}{2}}{\frac{m}{2} } = 5gl$;
$T = \frac{5glm}{l} + mg = 6mg = 6P$;
Вывод: «подвешенный на нити к центру вертикального круга шар не может вращаться по этому кругу, если нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз» (T = 6P).