Докажите тождество

\frac{1}{x + n} - \frac{1}{x + n + 1} = \frac{1}{(x + n) (x + n + 1)}

.
Используя это тождество, упростите выражение

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 4)}

Докажите тождество 1 x + n − 1 x + n + 1 = 1 ( x + n ) ( x + n + 1 ) . Используя это тождество, упростите выражение 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) + 1 ( x + 2 ) ( x + 3 ) + 1 ( x + 3 ) ( x + 4 ) .

Доказательство:

\frac{1}{x + n} - \frac{1}{x + n + 1} = \frac{x + n + 1 - (x + n)}{(x + n) (x + n + 1)} = \frac{1}{(x + n) (x + n + 1)}

\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 4} = \frac{x + 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} = \frac{3}{(x + 1) (x + 4)}