Напомним, что модуль
$|x| = \begin{equation*} \begin{cases} x, x ≥ 0 &\\ -x, x < 0 & \end{cases} \end{equation*} $
Рассмотрим x ≥ 0. Тогда $\sqrt{x^2} = x$ по определению квадратного корня.
Если x < 0, учитывая, что $x^2 = (-x)^2 ≥ 0$, получаем $\sqrt{x^2} = \sqrt{(-x)^2} = -x > 0$.
Таким образом
$\sqrt{x^2} = \begin{equation*} \begin{cases} x, x ≥ 0 &\\ -x, x < 0 & \end{cases} \end{equation*} $
что совпадает с определением модуля x.