Пусть 2n + 1 первое нечетное натуральное число, тогда:
2n − 1 второе нечетное натуральное число.
Найдем сумму их кубов:
$(2n + 1)^3 + (2n - 1)^3 = (2n + 1 + 2n - 1)((2n + 1)^2 - (2n + 1)(2n - 1) + (2n - 1)^2) = 4n(4n^2 + 4n + 1 - (4n^2 - 1) + 4n^2 - 4n + 1) = 4n(4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 1 + 4n^2 - 4n + 1) = 4n(4n^2 + 3)$, следовательно сумма кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 4.