Пусть 3n + 1 первое натуральное число, тогда:
3n + 2 второе натуральное число.
Найдем сумму их кубов:
$(3n + 1)^3 + (3n + 2)^3 = (3n + 1 + 3n + 2)((3n + 1)^2 - (3n + 1)(3n + 2) + (3n + 2)^2) = (6n + 3)(9n^2 + 6n + 1 - (9n^2 + 3n + 6n + 2) + 9n^2 + 12n + 4) = 3(2n + 1)(9n^2 + 6n + 1 - 9n^2 - 3n - 6n - 2 + 9n^2 + 12n + 4) = 3(2n + 1)(9n^2 + 9n + 3) = 3(2n + 1) * 3(3n^2 + 3n + 1) = 9(2n + 1)(3n^2 + 3n + 1)$, следовательно сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.